Cos'è una funzione inversa?

In matematica, una funzione è un processo applicato a una variabile indipendente x per ottenere la variabile dipendente y. Se la pensi come "passando da" alla tua x per arrivare alla tua y, una funzione inversa va nella direzione opposta, dal risultato al valore originale. In un certo senso, una funzione inversa è l'opposto dell'originale, "annulla" il processo.

TL; DR (Troppo lungo, non letto)

Un inverso di una funzione matematica inverte i ruoli di ye x nella funzione originale.

Funzioni e inversioni

I matematici definiscono una funzione come un processo o una regola che genera le coppie ordinate di un insieme. Puoi pensare al primo membro della coppia come alla x della funzione, e al secondo membro come alla y. In una funzione vera, il primo valore ha solo un valore di soluzione che lo accompagna. Quindi ogni valore x ha solo un valore y corrispondente. Quindi, l'equazione per la linea orizzontale, y = 1 è una funzione, ma la linea verticale, x = 1 non lo è.

Disegna un grafico

Il grafico di una funzione e il suo inverso sono riflessi l'uno dell'altro, con una linea che rappresenta y = x che agisce come lo "specchio". Per fare un esempio, il grafico della funzione di logaritmo naturale, ln (x), inizia all'infinito negativo sull'asse ye appena a destra di zero sull'asse x. Da lì, attraversa l'asse x nel punto (1,0) e presenta una curva leggermente crescente verso l'alto lungo l'asse x. La sua inversa, la funzione esponente naturale exp (x), ha l'asse x come suo asintoto, a partire dall'infinito negativo sull'asse x, proprio sopra di esso. Attraversa l'asse y in (0,1) e curva fortemente verso l'alto. Disegna le due funzioni su un grafico, quindi disegna la linea y = x, e vedrai che exp (x) e ln (x) si rispecchiano a vicenda.

Seno e Coseno

Sebbene le funzioni seno e coseno siano correlate, una non è l'inverso dell'altro. Le funzioni seno e coseno producono risultati grafici simili, sebbene il coseno "porti" il seno di 90 gradi. Inoltre, il coseno è la derivata del seno. Tuttavia, l'inverso della funzione seno è l'arcoseno e l'inverso del coseno è l'arcocoseno.

Trovare una funzione inversa

È relativamente facile trovare l'inverso di molte funzioni: scambia "y" e "x" nell'equazione, quindi risolvi y. Ad esempio, considera l'equazione y = 2x + 4. Scambia y per x dà x = 2y + 4. Sottrarre 4 da entrambi i lati per ottenere x - 4 = 2y, e quindi dividere entrambi i lati per 2 per ottenere (x ÷ 2) - 2 = y, la funzione inversa.

Non-funzioni inverse

Non tutte le inversioni di funzioni sono anche funzioni. Ricordiamo che la definizione di funzioni dice che ogni x ha solo un valore y. Sebbene l'arcoseno sia l'inverso della funzione seno, l'arcoseno non è tecnicamente una funzione, poiché i valori x hanno infinitamente molti valori y corrispondenti. È anche vero con y = x2 e y = √x: il primo è una funzione, e il secondo è il suo inverso, ma la radice quadrata dà due corrispondenti valori y, positivi e negativi, rendendola non una funzione vera.

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