Cos'è una sequenza aritmetica?

In algebra, le sequenze di numeri sono preziose per lo studio di ciò che accade man mano che qualcosa continua a diventare più grande o più piccola. Una sequenza aritmetica è definita dalla differenza comune, che è la differenza tra un numero e il successivo nella sequenza. Per le sequenze aritmetiche, questa differenza è un valore costante e può essere positiva o negativa. Di conseguenza, una sequenza aritmetica continua a diventare più grande o più piccola di una quantità fissa ogni volta che un nuovo numero viene aggiunto alla lista che compone la sequenza.

TL; DR (Troppo lungo, non letto)

Una sequenza aritmetica è una lista di numeri in cui i termini consecutivi differiscono di una quantità costante, la differenza comune. Quando la differenza comune è positiva, la sequenza continua ad aumentare di una quantità fissa, mentre se è negativa, la sequenza diminuisce. Altre sequenze comuni sono la sequenza geometrica, in cui i termini differiscono per un fattore comune e la sequenza di Fibonacci, in cui ogni numero è la somma dei due numeri precedenti.

Come funziona una sequenza aritmetica

Una sequenza aritmetica è definita da un numero iniziale, una differenza comune e il numero di termini nella sequenza. Ad esempio, una sequenza aritmetica che inizia con 12, una differenza comune di 3 e 5 termini è 12, 15, 18, 21, 24. Un esempio di sequenza decrescente è uno che inizia con il numero 3, una differenza comune di -2 e sei termini. Questa sequenza è 3, 1, -1, -3, -5, -7.

Le sequenze aritmetiche possono anche avere un numero infinito di termini. Ad esempio, la prima sequenza sopra con un numero infinito di termini sarebbe 12, 15, 18,... e quella sequenza continua all'infinito.

Significato aritmetico

Una sequenza aritmetica ha una serie corrispondente che aggiunge tutti i termini della sequenza. Quando i termini vengono aggiunti e la somma viene divisa per il numero di termini, il risultato è la media aritmetica o la media. La formula per la media aritmetica è (somma di n termini) ÷ n.

Un modo rapido per calcolare la media di una sequenza aritmetica consiste nell'utilizzare l'osservazione che, quando vengono aggiunti il ​​primo e l'ultimo termine, la somma è la stessa di quando vengono aggiunti il ​​secondo e il penultimo o il terzo e il terzo all'ultimo termini. Di conseguenza, la somma della sequenza è la somma del primo e dell'ultimo tempo per metà del numero di termini. Per ottenere la media, la somma viene divisa per il numero di termini, quindi la media di una sequenza aritmetica è la metà della somma del primo e dell'ultimo termine. Per n termini a1 a an, la formula corrispondente per la media m è m = (a1+ unn)÷2.

Le sequenze aritmetiche infinite non hanno un ultimo termine e quindi la loro media non è definita. Invece, una media per una somma parziale può essere trovata limitando la somma a un numero definito di termini. In tal caso, la somma parziale e la sua media possono essere trovate allo stesso modo di una sequenza non infinita.

Altri tipi di sequenze

Le sequenze di numeri sono spesso basate su osservazioni di esperimenti o misure di fenomeni naturali. Tali sequenze possono essere numeri casuali ma spesso le sequenze risultano essere aritmetiche o altri elenchi ordinati di numeri.

Ad esempio, le sequenze geometriche differiscono dalle sequenze aritmetiche perché hanno un fattore comune piuttosto che una differenza comune. Invece di avere un numero aggiunto o sottratto per ogni nuovo termine, un numero viene moltiplicato o diviso ogni volta che viene aggiunto un nuovo termine. Una sequenza che è 10, 12, 14,... come una sequenza aritmetica con una differenza comune di 2 diventa 10, 20, 40,... come una sequenza geometrica con un fattore comune di 2.

Altre sequenze seguono regole completamente diverse. Ad esempio, i termini della sequenza di Fibonacci sono formati aggiungendo i due numeri precedenti. La sua sequenza è 1, 1, 2, 3, 5, 8,... I termini devono essere aggiunti singolarmente per ottenere una somma parziale perché il metodo rapido di aggiungere il primo e l'ultimo termine non funziona per questa sequenza.

Le sequenze aritmetiche sono semplici ma hanno applicazioni reali. Se il punto di partenza è noto e si può trovare la differenza comune, il valore della serie in un punto specifico nel futuro può essere calcolato e anche il valore medio può essere determinato.

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