Quali sono i numeri reali?

I numeri reali sono tutti i numeri su una linea numerica che va dall'infinito negativo a zero all'infinito positivo. Questa costruzione dell'insieme di numeri reali non è arbitraria, ma piuttosto il risultato di un'evoluzione dai numeri naturali usati per il conteggio. Il sistema dei numeri naturali ha diverse incongruenze e, man mano che i calcoli diventano più complessi, il sistema dei numeri si espande per affrontare i suoi limiti. Con i numeri reali, i calcoli danno risultati coerenti e vi sono poche eccezioni o limitazioni come quelle che erano presenti con le versioni più primitive del sistema numerico.

TL; DR (Troppo lungo, non letto)

L'insieme di numeri reali è costituito da tutti i numeri su una riga numerica. Questo include numeri naturali, numeri interi, numeri interi, numeri razionali e numeri irrazionali. Non include numeri immaginari o numeri complessi.

Numeri naturali e chiusura

La chiusura è la proprietà di un insieme di numeri che significa che se i calcoli permessi vengono eseguiti su numeri che sono membri dell'insieme, le risposte saranno anche numeri che sono membri dell'insieme. Si dice che il set sia chiuso.

I numeri naturali sono i numeri di conteggio, 1, 2, 3... e l'insieme dei numeri naturali non è chiuso. Siccome i numeri naturali venivano usati nel commercio, sorsero immediatamente due problemi. Mentre i numeri naturali contano oggetti reali, ad esempio le mucche, se un contadino aveva cinque mucche e vendeva cinque mucche, non c'era un numero naturale per il risultato. I primi sistemi numerici hanno sviluppato molto rapidamente un termine zero per affrontare questo problema. Il risultato è stato il sistema di numeri interi, che sono i numeri naturali più zero.

Il secondo problema era anche associato alla sottrazione. Finché i numeri contano oggetti reali come le mucche, l'agricoltore non potrebbe vendere più mucche di quante ne avesse. Ma quando i numeri sono diventati astratti, sottraendo numeri più grandi da quelli più piccoli hanno dato risposte al di fuori del sistema di numeri interi. Di conseguenza, sono stati introdotti gli interi, che sono i numeri interi più i numeri naturali negativi. Il sistema numerico ora includeva una linea numerica completa ma solo con numeri interi.

Numeri razionali

I calcoli in un sistema di numeri chiusi dovrebbero dare risposte all'interno del sistema numerico per operazioni come addizione e moltiplicazione ma anche per le loro operazioni inverse, sottrazione e divisione. Il sistema di interi è chiuso per addizione, sottrazione e moltiplicazione ma non per divisione. Se un intero è diviso per un altro intero, il risultato non è sempre un numero intero.

Dividere un numero intero piccolo da uno più grande dà una frazione. Tali frazioni sono state aggiunte al sistema numerico come numeri razionali. I numeri razionali sono definiti come qualsiasi numero che può essere espresso come un rapporto di due numeri interi. Qualsiasi numero decimale arbitrario può essere espresso come numero razionale. Ad esempio 2.864 è 2864/1000 e 0.89632 è 89632 / 100.000. La linea numerica ora sembrava essere completa.

Numeri irrazionali

Ci sono numeri sulla linea del numero che non possono essere espressi come una frazione di numeri interi. Uno è il rapporto tra i lati di un triangolo rettangolo e l'ipotenusa. Se due dei lati di un triangolo rettangolo sono 1 e 1, l'ipotenusa è la radice quadrata di 2. La radice quadrata di due è un decimale infinito che non si ripete. Tali numeri sono chiamati irrazionali e comprendono tutti i numeri reali che non sono razionali. Con questa definizione, la linea numerica di tutti i numeri reali è completa perché qualsiasi altro numero reale che non sia razionale è incluso nella definizione di irrazionale.

Infinito

Anche se si dice che la linea del numero reale si estende dall'infinito negativo a quello positivo, l'infinito stesso non è un numero reale ma piuttosto un concetto del sistema numerico che lo definisce come una quantità più grande di qualsiasi numero. Matematicamente infinito è la risposta a 1 / x come x raggiunge lo zero, ma la divisione per zero non è definita. Se l'infinito fosse un numero, porterebbe a contraddizioni perché l'infinito non segue le leggi dell'aritmetica. Ad esempio, infinity plus 1 è ancora infinito.

Numeri immaginari

L'insieme di numeri reali è chiuso per addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione tranne che per divisione per zero, che non è definito. Il set non è chiuso per almeno un'altra operazione.

Le regole di moltiplicazione nell'insieme dei numeri reali specificano che la moltiplicazione di un numero negativo e positivo dà un numero negativo mentre la moltiplicazione di numeri positivi o negativi dà risposte positive. Ciò significa che il caso speciale di moltiplicare un numero produce di per sé un numero positivo sia per i numeri positivi sia per quelli negativi. L'inverso di questo caso speciale è la radice quadrata di un numero positivo, che fornisce sia una risposta positiva che una negativa. Per la radice quadrata di un numero negativo, non c'è risposta nell'insieme di numeri reali.

Il concetto dell'insieme di numeri immaginari affronta il problema delle radici quadrate negative nei numeri reali. La radice quadrata di meno 1 è definita come i e tutti i numeri immaginari sono multipli di i. Per completare la teoria dei numeri, l'insieme dei numeri complessi è definito come includendo tutti i numeri reali e tutti i numeri immaginari. I numeri reali possono continuare ad essere visualizzati su una linea numerica orizzontale mentre i numeri immaginari sono una linea verticale, con i due che si intersecano a zero. I numeri complessi sono punti nel piano delle due linee numeriche, ciascuna con un componente reale e un componente immaginario.

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